Enunciado

Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é delimitada por y = x   ,   y = 0   e x = 1 ; ρ x ,   y = x

Passo 1

Galera, primeiro vamos calcular a massa:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x   d y   d x = ∫ 0 1 x y 0 x d x = ∫ 0 1 x 3 2   d x = x 5 2 5 2 0 1 = 2 5

Passo 2

Agora vamos calcular x - , pra saber qual é o centro de massa x - ,   y - :

x - = M y m

onde M y é o momento em relação ao eixo y , calculado da seguinte forma:

M y = ∬ D   x   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x 2   d y   d x = ∫ 0 1 x 2 y 0 x d x = ∫ 0 1 x 5 2   d x = x 7 2 7 2 0 1 = 2 7

x - = M y m = 2 7 2 5 = 5 7

Passo 3

Show! Agora só falta calcular y - , mas primeiro, vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ 0 1 ∫ 0 x x y   d y   d x = ∫ 0 1 x y 2 2 0 x d x = ∫ 0 1 x 2 2   d x = x 3 6 0 1 = 1 6

y - = M x m = 1 6 2 5 = 5 12

Então,

x ,   - y - = 5 7 , 5 12

Resposta

m = 2 5

x ,   - y - = 5 7 , 5 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular o centro de massa de uma lâmina plana quadrada de 4cm de lado, com densidade de massa constante.
Calcular a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa em um ponto P(x,y) é proporcional ao quadrado da distancia desse ponto ao centro do círculo acrescida
Calcular a massa e o centro de massa de uma chapa com o fortmato de um triangulo isósceles com base 10 cm e altura 5 cm. Considerar a densidade constante
Calcular a massa e o centro de massa da chapa da figura 7.57, considerando a densidade igual a x
Uma lamina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas y=x 2 + 1ey = x + 3 . Sua densidade de massa no ponto P(x,y) é proporcional à distancia desse ponto ao eixo dos x. Calcular:a) a massa da