Enunciado

  1. Determine o volume contido pelo toro ρ = sen ⁡ ϕ .
  2. Utilize um computador para desenhar o toro.

Passo 1

Percebam que a equação do toro foi dada em coordenadas esféricas! Então, a dica é utilizar este sistema de coordenadas para calcularmos o seu volume. Sendo assim, a nossa integral será:

∭ V d V = ∭ V ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Nosso trabalho é descrever os limites de integração. E para um toro, ele é dado por:

0 ≤ ρ ≤ sen ⁡ ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Portanto, nossa integral é:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 2

Agora, nosso trabalho é calcular a integral definida no final do Passo 1. Sendo assim, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 3 3 0 sen ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen 4 ⁡ ϕ 3 d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π sen 4 ⁡ ϕ 3 d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 ϕ 2 2 3 d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 - 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ 4 3 d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 12 - cos ⁡ 2 ϕ 6 + 1 + cos ⁡ 4 ϕ 24 d ϕ d θ

∫ 0 2 π ϕ 12 - sen ⁡ 2 ϕ 12 + ϕ 24 + sen ⁡ 4 ϕ 96 0 π d θ = ∫ 0 2 π π 8 d θ = π 2 4

E assim chegamos ao volume de um toro!

Passo 3

Utilizando softwares para ajudar no esboço do toro, temos:

Resposta

  1. V o l u m e = π 2 4

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Calcular as seguintes integrais: ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 2 ∫ 0 2 - x 2 - y 2 1 2 + x 2 + y 2 + z 2 d z . d y . d x
Calcule o volume do elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1
Calcule o volume do conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ⋅ a ⋅ z e z ≥ x 2 + y 2 , a0 .
Calcule o volume do conjunto x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 ⋅ a ⋅ x e z ≥ x 2 + y 2 , a0 .
Calculee) ∫ ∫ ∫ B z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z onde B é conjuntoz ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .