Enunciado

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y = ( 2 x y + y - 2 ) i ^ + ( x 2 - 2 x y - 3 ) j ^

Passo 1

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 , o próximo passo é buscar verificar a cara de f

Passo 2

Como explicamos acima, vamos inicialmente verificar o rotacional de F → .

∇ × F → = ∂ F x d y - ∂ F y d x = ∂ 2 x y + y - 2 d y - ∂ x 2 - 2 x y - 3 d x = 2 x - 2 y - 3 - 2 x - 2 y - 3 = 0

Logo temos que pelo menos umas das condições para que F → seja conservativo estão satisfeitas.

Passo 3

Agora precisamos tentar determinar quem é nossa f .

Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.

Se ∇ f = F → isso implica que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y = F →

Logo se para gerar F → tivemos que derivar f , vamos tomar o caminho inverso.

Seja

∂ f ∂ x = 2 x y + y - 2 → f = ∫ 2 x y + y - 2 d x = x 2 y + x y - 2 + C y

Onde C y é uma constante que a princípio só depende de y e não mais de x .

Pela lógica, se derivarmos f na direção de y devemos encontrar a outra componente de F → .

Ou seja,

∂ f ∂ y = ∂ x 2 y + x y - 2 + C y d y = x 2 - 2 x y - 3 + C ' y = x 2 - 2 x y - 3

Esse último termo da equação, vem da F → que já conhecemos, enquanto o penúltimo vem da derivada da f que supomos ter encontrado.

Com isso chegamos que

C ' y = 0 → C y = C

Logo

f = x 2 y + x y - 2 + C

Resposta

f = x 2 y + x y - 2 + C

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