Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.3 - Ex. 8
Determine se é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função tal que .
Passo 1
Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.
A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que , o próximo passo é buscar verificar a cara de
Passo 2
Como explicamos acima, vamos inicialmente verificar o rotacional de .
Logo temos que pelo menos umas das condições para que seja conservativo estão satisfeitas.
Passo 3
Agora precisamos tentar determinar quem é nossa .
Para isso vamos seguir um passo a passo lógico.
Se isso implica que
Logo se para gerar tivemos que derivar , vamos tomar o caminho inverso.
Seja
Onde é uma constante que a princípio só depende de e não mais de
Pela lógica, se derivarmos na direção de devemos encontrar a outra componente de .
Ou seja,
Esse último termo da equação, vem da que já conhecemos, enquanto o penúltimo vem da derivada da que supomos ter encontrado.
Com isso chegamos que
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