Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.Revisão - Ex. 23
Uma partícula move-se com velocidade angular constante em torno de um círculo com centro na origem e raio . A partícula é considerada em movimento circular uniforme. Suponha que o movimento seja no sentido anti-horário e que a partícula esteja no ponto quando . O vetor posição no instante é .
a) Encontre o vetor velocidade e mostre que . Conclua que é tangente ao círculo e tem sentido igual ao do movimento.
b) Mostre que velocidade da partícula é a constate . O período da partícula é o tempo requerido ara uma volta completa. Conclua que
c) Encontre o vetor aceleração . Mostre que ele é proporcional a e que aponta para a origem. Uma aceleração com essa propriedade é chamada aceleração centrípeta. Mostre que o módulo do vetor aceleração é .
d) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força que é necessária para produzir esse movimento, denominado força centrípeta, é
Passo 1
Nesse problema vamos estudar o movimento circular uniforme! O enunciado forneceu a equação para a trajetória da partícula:
Derivando com o tempo achamos o vetor velocidade:
Assim, pela regra da cadeia:
Desta forma, fazendo o produto escalar:
Como , o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição!
Passo 2
Calculando o módulo do vetor velocidade:
Assim,
Vemos que o módulo da velocidade é uma constante que não depende do tempo! Sendo assim, podemos associar ao movimento um período:
em que é a distância percorrida em uma volta e é o módulo da velocidade. Assim,
Mas como , temos que
Passo 3
Para achar a aceleração, basta derivar o vetor velocidade:
Logo,
Note que
Assim,
Vemos que a aceleração é proporcional ao vetor posição, mas aponta no sentido contrário, para dentro da trajetória circular! Calculando seu módulo, obtemos
Pela segunda lei de Newton, temos que
Assim,
Portanto,
Resposta
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