Enunciado

Uma partícula P move-se com velocidade angular constante ω em torno de um círculo com centro na origem e raio R . A partícula é considerada em movimento circular uniforme. Suponha que o movimento seja no sentido anti-horário e que a partícula esteja no ponto ( R ,   0 ) quando t = 0 . O vetor posição no instante t ≥ 0 é r → t = R cos ⁡ ω t   i ^ + R   s e n   ω t   j ^ .

a) Encontre o vetor velocidade v → e mostre que v → ⋅ r → = 0 . Conclua que v → é tangente ao círculo e tem sentido igual ao do movimento.

b) Mostre que velocidade v → da partícula é a constate ω R . O período T da partícula é o tempo requerido ara uma volta completa. Conclua que

T = 2 π R v → = 2 π ω

c) Encontre o vetor aceleração a → . Mostre que ele é proporcional a r → e que aponta para a origem. Uma aceleração com essa propriedade é chamada aceleração centrípeta. Mostre que o módulo do vetor aceleração é a → = R ω 2 .

d) Suponha que a partícula tenha uma massa m . Mostre que a magnitude da força F → que é necessária para produzir esse movimento, denominado força centrípeta, é

F → = m v → 2 R

Passo 1

Nesse problema vamos estudar o movimento circular uniforme! O enunciado forneceu a equação para a trajetória da partícula:

r → t = R cos ⁡ ω t   i ^ + R   s e n   ω t   j ^

Derivando com o tempo achamos o vetor velocidade:

v → = d r → d t

Assim, pela regra da cadeia:

v → t = - ω R   s e n   ω t   i ^ + ω R cos ⁡ ω t   j ^

Desta forma, fazendo o produto escalar:

v → ⋅ r → = - ω R 2 cos ⁡ ω t   s e n   ω t + ω R 2   s e n   ω t cos ⁡ ω t = 0

Como v → ⋅ r → = 0 , o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição!

Passo 2

Calculando o módulo do vetor velocidade:

v → = ω R s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t = ω R 1

Assim,

v → = ω R

Vemos que o módulo da velocidade é uma constante que não depende do tempo! Sendo assim, podemos associar ao movimento um período:

T = d v ,

em que d = 2 π R é a distância percorrida em uma volta e v = v → é o módulo da velocidade. Assim,

T = 2 π R v →

Mas como v → = ω R , temos que

T = 2 π R ω R ⇒ T = 2 π ω

Passo 3

Para achar a aceleração, basta derivar o vetor velocidade:

a → = d v → d t

Logo,

a → t = - ω 2 R cos ⁡ ω t   i ^ - ω 2 R   s e n   ω t   j ^

Note que

a → t = - ω 2 R cos ⁡ ω t   i ^ + R   s e n   ω t   j ^

Assim,

a → t = - ω 2   r → ( t )

Vemos que a aceleração é proporcional ao vetor posição, mas aponta no sentido contrário, para dentro da trajetória circular! Calculando seu módulo, obtemos

a → = v → = ω 2 R s e n 2 ω t + cos 2 ⁡ ω t = ω 2 R = v → 2 R

Pela segunda lei de Newton, temos que

F → = m a →

Assim,

F → = m a →

Portanto,

F → = m v → 2 R

Resposta

v → t = - ω R   s e n   ω t   i ^ + ω R cos ⁡ ω t   j ^

a → t = - ω 2 R cos ⁡ ω t   i ^ - ω 2 R   s e n   ω t   j ^

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