Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F → = ∇ ⋅ f e (b) use a parte (a) para calcular ∫ C F → ⋅ d r → sobre a curva C dada.

F → x , y = 1 + x ⋅ y ⋅ e x ⋅ y ⋅ i → + x 2 ⋅ e x ⋅ y ⋅ j →

C : r → t = cos ⁡ t ⋅ i → + 2 ⋅ sin ⁡ t ⋅ j → ,   0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar calcular as integrais do campo para x e y e encontrar uma função da qual o campo derive. Após isso, vamos usar a curva C para calcular a integral de linha.

Passo 2

Assumindo que o campo seja conservativo, temos então que

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Assim, se integrarmos Q em relação a y , vamos encontrar uma constante que depende de x da seguinte forma:

f ( x , y ) = ∫ Q ⋅ d y = ∫ x 2 ⋅ e x ⋅ y = x ⋅ e x ⋅ y + g ( x )

Se derivarmos agora essa função que encontramos e derivarmos em relação a x , igualando a P ficamos com

P = ∂ f ∂ x = e x ⋅ y + x ⋅ y ⋅ e x ⋅ y + g ' x = 1 + x ⋅ y ⋅ e x ⋅ y

g ' x = 0

Assim chegamos que a constante tem o valor de zero e que a função f x , y = x ⋅ e x ⋅ y .

Passo 3

Como o campo é conservativo, temos que apenas os pontos finais e iniciais importam para a integral. Assim, temos que apenas descobrir quanto vale esses extremos. Temos que para r → 0 = 1,0 e para r → π 2 = 0,2 . Então temos que nossa integral será

∫ C F → ⋅ d r → = f 0,2 - f 1,0 = 0 - e 0 = - 1

Resposta

  1. f x , y = x ⋅ e x ⋅ y
  2. ∫ C F → ⋅ d r → = - 1
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