Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

6-

F x , y = e y i + x e y j

Passo 1

Vamos aplicar a igualdade para vermos se o campo é conservativo ou não.

F = P i + Q j

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

O que nos dá para essa questão:

∂ e y ∂ y = ∂ x e y ∂ x

e y = e y

Logo o campo é conservativo.

Passo 2

Então existe uma função F potencial cujo valor de f x = e y e f y = x e y e fazendo a integral em x de f x teremos:

F = x e y + g ( y )

Onde g ( y ) é uma função em relação a y cuja derivada em x faz ela se zerar, dessa formar derivando em relação a y essa função f encontrada teremos:

f y = x e y + g y ( y )

Comparando os dois f y vemos g y y = 0 , logo a função potencial (integrando em y ) será igual a:

F = x e y + C

Onde C é uma constante qualquer.

Resposta

Campo conservativo.

F = x e y + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen ⁡ x , cos ⁡ y , em R 2
Para um escoamento no plano x y , a componente em x da velocidade é dada por 2 x y + x 2 + y 2 . Determinar uma possível componente em y para escoamento incompressível.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?e) f → x , y , z = x 2 sen ⁡ y + z , y cos ⁡ y + 1 , z 2 - x y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?b) f → x , y = x x 2 + y 2 3 2 , y x 2 + y 2 3 2 em D = x , y x - 3 2 + y - 5 23