Enunciado

Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?

e) f → x , y , z = x 2 sen ⁡ y + z , y cos ⁡ y + 1 , z 2 - x y em R 3

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , z .

Passo 2

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ z 2 - x y ∂ y - ∂ y cos ⁡ y + 1 ∂ z i → + ∂ x 2 sen ⁡ y + z ∂ z - ∂ z 2 - x y ∂ x j → + ∂ y cos ⁡ y + 1 ∂ x - ∂ x 2 sen ⁡ y + z ∂ y k →

rot ⁡ f → = - x - 0 i → + 1 - y j → + 0 - x 2 cos ⁡ y k →

rot ⁡ f → = - x i → + - y j → + - x 2 cos ⁡ y k →

Podemos observar que rot ⁡ f → = - x i → + - y j → + - x 2 cos ⁡ y k → ≠ 0 → , portanto o campo vetorial é não conservativo em R 3 e f → não admite uma função potencial f x , y , z .

Resposta

rot ⁡ f → = - x i → + - y j → + - x 2 cos ⁡ y k →

Campo vetorial não é conservativo em R 3 , f → não admite uma função potencial f x , y , z .

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