Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

7-

F x , y = 2 x c o s   y - y cos ⁡ x i + - x 2 s e n   y - s e n   x j

Passo 1

Fazendo a igualdade que nos dá a resposta da conservação do campo nós teremos:

∂ - x 2 s e n   y - s e n   x ∂ x = ∂ 2 x c o s   y - y cos ⁡ x ∂ y

- 2 x   s e n   y - cos ⁡ x = - 2 x   s e n   y - cos ⁡ x

Logo o campo é conservativo.

Passo 2

Então dessa forma existe uma função F cuja derivada em x vale ou seja f y = - x 2 s e n   y - s e n   x e a derivada em y vale f x = 2 x cos ⁡ y - y cos ⁡ x . Ou seja se integrarmos em x f x teremos:

F = x 2 c o s   y - y sen ⁡ x + g ( y )

Onde g ( y ) é uma função que está em relação a y , que some quando derivamos elas em x . Agora derivando essa função em y temos:

f y = - x 2 sen ⁡ y - s e n   x + g y ( y )

Dessa forma comparadas as duas funções f y chegamos que g y y = 0 , logo se integrarmos essa função f y que encontramos em y vemos que a função potencial F valerá:

F = x 2 cos ⁡ y - y   s e n   x + C

Resposta

Campo conservativo.

Função potencial :

F = x 2 cos ⁡ y - y   s e n   x + C

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Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?d) f → x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 3 2 , y x 2 + y 2 + z 2 3 2 , z x 2 + y 2 + z 2 3 2 em D = x , y , z 0x 2 + y 2 + z 21
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?c) f → x , y = x x 2 + y 2 3 2 , y x 2 + y 2 3 2 em D = x , y x 2 + y 21
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.b) f → = 1 + y sen ⁡ x i → + 1 - cos ⁡ x j →
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.c) f → = ln ⁡ x y i → + ln ⁡ y z j → + ln ⁡ z x k →
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.a) f → = 2 x i → + 5 y z j → + x 2 y 2 z 2 k →