Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 6.10 - Ex. 19c

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.

c) f → = ln ⁡ x y i → + ln ⁡ y z j → + ln ⁡ z x k →

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , z .

Passo 2

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ ln ⁡ z x ∂ y - ∂ ln ⁡ y z ∂ z i → + ∂ ln ⁡ x y ∂ z - ∂ ln ⁡ z x ∂ x j → + ∂ ln ⁡ y z ∂ x - ∂ ln ⁡ x y ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 - y y z i → + 0 - z z x j → + 0 - x x y k →

rot ⁡ f → = - y y z i → + - z z x j → + - x x y k →

Podemos observar que rot ⁡ f → = - y y z i → + - z z x j → + - x x y k → ≠ 0 → , portanto o campo vetorial não é conservativo em R 2 e f → não admite uma função potencial f x , y .

Resposta

rot ⁡ f → = - y y z i → + - z z x j → + - x x y k →

Campo vetorial não é conservativo em R 2 , f → não admite uma função potencial f x , y .

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