Enunciado

30- Determine o valor exato de ∫ ∫ S x 2 y z   d S , onde S é a superfície do Exercício 29

Passo 1

Copiando o que fizemos na questão passada temos:

z = x y ,   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

d S = d z d x 2 + d z d y 2 + 1   d x d y = y 2 + x 2 + 1   d x d y

Passo 2

Logo a integral de superfície é:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 y x y y 2 + x 2 + 1   d x d y

∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 y 2   y 2 + x 2 + 1   d x   d y

Passo 3

Utilizando um bom programa CAS nós encontraremos como resposta:

1 60 3 - 1 12 ln ⁡ 1 + 3 - 1 192 ln ⁡ 2 + 1 + 317 2880 2 + 1 24 ln ⁡ 2

Um bom mesmo pois isso aqui é pesado.

Resposta

1 60 3 - 1 12 ln ⁡ 1 + 3 - 1 192 ln ⁡ 2 + 1 + 317 2880 2 + 1 24 ln ⁡ 2

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