Enunciado

Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

8-

F x , y = 1 + 2 x y + ln ⁡ x i + x 2 j

Passo 1

Aplicando a igualdade para conseguirmos dizer se a função é conservativa ou não nós teremos:

F = P i + Q j

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Dessa forma teremos:

∂ 1 + 2 x y + ln ⁡ x ∂ y = ∂ x 2 ∂ x

2 x = 2 x

Logo o campo é conservativo.

Passo 2

Logo existe uma função F cuja derivada em x f x = 1 + 2 x y + ln ⁡ x e cuja derivada em y valha f y = x 2 , logo fazendo a integral em x de f x será:

F = x + x 2 y + x ln ⁡ x - x + g ( y ) = x ln ⁡ x + x 2 y + g ( y )

Onde g ( y ) é uma função qualquer em relação a y que não é detectada pela derivada em x da função. Agora se fizermos a derivada em relação a y dessa função nós vamos ter:

f y = x 2 + g y ( y )

Comparando as duas funções f y temos que:

g y y = 0

Integrando em y temos:

g y = C

Onde C é uma constante.

Logo a função potencial F será:

F = x ln ⁡ x + x 2 y + C

Resposta

Campo conservativo.

Função potencial:

F = x l n   x + x 2 y + C

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