Enunciado

Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles.

x + y + z = 1 , x - y + z = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que o produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares entre si?

v → 1 ⋅ v → 2 = 0 (teste 1 )

E que o produto vetorial entre dois vetores é zero quando esses vetores são paralelos?

v → 1 × v → 2 = 0 (teste   2 )

Pois é! São esses dois testes que podemos fazer para saber se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.

Daí você se pergunta, mas como? Eu respondo: pelos vetores diretores dos planos! Se esses vetores forem paralelos, os planos também vão ser. O mesmo vale para a condição de perpendicularidade.

Tá, e quando os dois testes falharem? Bom, daí a gente recorre para a fórmula extensa do produto escalar:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Mas só se os dois primeiros forem inconclusivos, ta?

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Passo 2

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + y + z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , 1,1 )

π 2 : x - y + z = 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 1 , - 1,1 )

  • Teste 1 :
  • v → 1 ⋅ v → 2 = 1,1 , 1 ⋅ 1 , - 1,1 = 1 - 1 + 1 = 1 ≠   0

    O primeiro teste não deu certo, vamos para o segundo?

    Passo 3

  • Teste 2 :

v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 1 1 1 - 1 1 = i → 1 + 1 + j → 1 + 1 + k → - 1 - 1 ≠ 0 →

Olha! O segundo teste também não deu certo! Isso significa que os planos não são nem paralelos e nem perpendiculares entre si. Devemos ir para o teste três e ver qual é o ângulo entre eles.

Passo 3

O ângulo entre dois planos é dado pela seguinte fórmula:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Sabemos as componentes de cada vetor e o produto escalar (dá uma espiada no Passo 2 ). Só precisamos calcular as normas.

Então as normas vão ser:

  • v → 1 :
  • v 1 → = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

  • v → 2 :

v 2 → = 1 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 = 3

Assim o cosseno vai ser:

cos ⁡ θ = 1 3 3 = 1 3

Assim o ângulo θ entre eles vai ser:

θ = a r c cos ⁡ 1 3 = 70,5 °

Vamos pra próxima?

Resposta

70,5 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 3 - t , y = 2 + t , z = 5 t ; x - y + 2 z = 9
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 1 + 2 t , y = 4 t , z = 2 - 3 t ; x + 2 y - z + 1 = 0
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pela origem e seja perpendicular ao vetor ( 1 , - 2,5 )
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 2,0 , 1 ) e seja perpendicular ao vetor x = 3 t , y = 2 - t , z = 3 + 4 t .
Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos 0,1 , 1 , ( 1,0 , 1 ) e ( 1,1 , 0 ) .