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Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles.

x - 4 y + 2 z = 0 , 2 x - 8 y + 4 z = - 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que o produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares entre si?

v → 1 ⋅ v → 2 = 0 (teste 1 )

E que o produto vetorial entre dois vetores é zero quando esses vetores são paralelos?

v → 1 × v → 2 = 0 (teste   2 )

Pois é! São esses dois testes que podemos fazer para saber se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.

Daí você se pergunta, mas como? Eu respondo: pelos vetores diretores dos planos! Se esses vetores forem paralelos, os planos também vão ser. O mesmo vale para a condição de perpendicularidade.

Tá, e quando os dois testes falharem? Bom, daí a gente recorre para a fórmula extensa do produto escalar:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Mas só se os dois primeiros forem inconclusivos, ta?

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Passo 2

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x - 4 y + 2 z = 0 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , - 4,2 )

π 2 : 2 x - 8 y + 4 z = - 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 2 , - 8,4 )

  • Teste 1 :
  • v → 1 ⋅ v → 2 = 1 , - 4,2 ⋅ 2 , - 8,4 = 2 + 32 + 8 ≠ 0

    O primeiro teste não deu certo, poxa! Mas não desanima, vamos para o segundo?

    Passo 3

  • Teste 2 :

v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 - 4 2 2 - 8 4 = i → - 16 + 1 6 + j → 4 - 4 + k → - 8 + 8 = 0 →

Olha! O segundo teste deu certo! Isso significa que os planos são paralelos entre si. Nem precisamos ir para o teste três.

Vamos pra próxima?

Resposta

p a r a l e l o s

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Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Escreva o enunciado aqui.
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 5 , y = 4 - t , z = 2 t ; 2 x - y + z = 5 .
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. x + y + z = 1 , x - y + z = 1
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 z = 4 y - x , 3 x - 12 y + 6 z = 0
a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos e ( b ) determine o ângulo entre os planos. 3 x - 2 y + z = 1 ,                 2 x + y - 3 z = 3
a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos e ( b ) determine o ângulo entre os planos. x + y + z = 1 ,                 x + 2 y + 2 z = 1
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 1,2 , - 1 e que seja perpendicular às direções dos vetores u → = 1,1 , 1 e v → = 1 , - 2,1 .
Escreva o enunciado aqui.
Sejam dados u → = u 1 , u 2 , u 3 e v → = v 1 , v 2 , v 3 com u → ⋀ v → ≠ 0 . Verifique que x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + s u → + t v →   s , t ∈ R é a equação vetorial do plano qu...
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. x + 4 y - 3 z = 1 , - 3 x + 6 y + 7 z = 0