Enunciado

Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles.

x + 4 y - 3 z = 1 , - 3 x + 6 y + 7 z = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que o produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares entre si?

v → 1 ⋅ v → 2 = 0 (teste 1 )

E que o produto vetorial entre dois vetores é zero quando esses vetores são paralelos?

v → 1 × v → 2 = 0 (teste   2 )

Pois é! São esses dois testes que podemos fazer para saber se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.

Daí você se pergunta, mas como? Eu respondo: pelos vetores diretores dos planos! Se esses vetores forem paralelos, os planos também vão ser. O mesmo vale para a condição de perpendicularidade.

Tá, e quando os dois testes falharem? Bom, daí a gente recorre para a fórmula extensa do produto escalar:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Mas só se os dois primeiros forem inconclusivos, ta?

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Passo 2

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + 4 y - 3 z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , 4 , - 3 )

π 2 : - 3 x + 6 y + 7 z = 0 , e seu vetor: v → 2 =   ( - 3 , 6,7 )

  • Teste 1 :

v → 1 ⋅ v → 2 = 1,4 , - 3 ⋅ - 3,6 , 7 = - 3 + 24 - 21 = 0

Olha! Já temos uma conclusão aqui! Se o produto escalar entre eles é zero, isso significa que o ângulo entre eles é 90 ° e os planos são perpendiculares.

Resposta

p e r p e n d i c u l a r e s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 3,5 , - 1 ) e contenham a linha x = 4 - t , y = 2 t - 1 , z = - 3 t .
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 5,3 , 5 ) e seja perpendicular ao vetor ( 2,1 , - 1 ) .
Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos 3,0 , - 1 , ( - 2 , - 2,3 ) e ( 7,1 , - 4 ) .
Encontre uma equação de plano para um plano que contenha os pontos 2,1 , 2 , ( 3 , - 8,6 ) e ( - 2 , - 3,1 ) .
Encontre uma equação de plano para um plano que contenha a linha x = 1 + t , y = 2 - t , z = 4 - 3 t e seja paralela ao plano 5 x + 2 y + z = 1 .