Enunciado

Determine o ponto da superfície x y z = 1 , x , y > 0 que se encontra mais perto da origem.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distância de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a superfície dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância de um ponto x , y , z à origem é dada por x 2 + y 2 + z 2 , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x 2 + y 2 + z 2

g =   x y z - 1

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a superfície).

Hmmmm, mas note que termos definido f = x 2 + y 2 + z 2 nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x 2 + y 2 + z 2 ? Afinal, procurar o menor x 2 + y 2 + z 2 é o mesmo que procurar o menor x 2 + y 2 + z 2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x , 2 y , 2 z

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = y z , x z , x y

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 x , 2 y , 2 z = λ y z , x z , x y   x y z - 1 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

2 x = λ y z 2 y = λ x z 2 z = λ x y   x y z - 1 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações. De fato, como x = λ y z 2 , o nosso sisteminha fica

2 y = λ λ y z 2 z 2 z = λ λ y z 2 y λ y z 2 y z = 1

Ou seja:

4 = λ 2 z 2 4 = λ 2 y 2 λ y 2 z 2 = 2

Isolando λ = 2 y 2 z 2 , nos sobra:

1 = 1 y 4 z 2 1 = 1 y 2 z 4

O resultado deste sisteminha fornece y = z = 1 . Voltando atrás um pouco, isto nos dá λ = 2 y 2 z 2 = 2 e , voltando mais um pouco, x = λ y z 2 = 2 2 1 = 1 .

Logo, o ponto de mínima distância procurado se localiza em:

1 ,   1 ,   1

Resposta

1 ,   1 ,   1

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