Enunciado

Determine a equação da reta tangente à curva γ no ponto γ t 0 = ( 2,5 ) sabendo que γ ' t 0 ≠ 0 → e que sua imagem está contida na curva de nível x y = 10 . Qual a equação da reta normal a γ , neste ponto?

Passo 1

A questão pede para determinar a reta tangente e a reta normal a curva γ no ponto ( 2,5 ) . Uma informação importante é que a imagem da curva está contida na curva cuja equação é x y = 10 . Desta forma, o que precisamos achar as equações das retas tangente e normal à essa curva no ponto ( 2,5 ) .

Poderíamos usar derivação implícita para achar a derivada da curva e assim tirar o coeficiente angular, mas essa é a abordagem que usamos em cálculo 1. Nesta seção foi apresentado um método usando o vetor gradiente.

Sabemos que o gradiente de uma função de duas variáveis é ortogonal as curvas de nível. Assim, consideremos a função f x , y = x y - 10 , de modo que a imagem de γ está contida na curva de nível 0 dessa função. Calculando o gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ( y ,   x )

Usando x = 2 e y = 5 :

∇ f 2,5 = ( 5,2 )

Este é o vetor diretor da reta normal.

Passo 2

O vetor gradiente é ortogonal à curva de nível, mas queremos o vetor tangente. O que fazer? Devemos achar um vetor que ( a ,   b ) que será perpendicular ao gradiente. Para isso, o produto escalar deles deve ser zero:

a ,   b ⋅ 5,2 = 0

Portanto,

5 a + 2 b = 0 ⇒ a = - 2 b 5

Como só estamos interessados na direção da reta tangente quando procuramos o vetor diretor da reta tangente, vamos tomar b = 5 , de modo que o vetor diretor será:

u → = ( - 2,5 )

Sabemos que a equação da reta que passa pelo ponto x 0 , y 0 com vetor diretor u → é dada por:

x , y = x 0 , y 0 + λ u →

Assim, a equação da reta tangente será

x , y = 2,5 + λ ( - 2,5 )

Passo 3

Para a reta normal, o vetor diretor é o próprio gradiente. Assim,

x , y = 2,5 + λ ( 5,2 )

Resposta

Reta tangente: x , y = 2,5 + λ ( - 2,5 )

Reta normal: x , y = 2,5 + λ ( 5,2 )

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