Determine os pontos críticos da função g(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2

Passo 1

Um ponto crítico de uma função se dá quando f ' x = 0 .

Para isso, faremos a derivada da função e calcularemos qual o valor de x que zera essa equação.

Passo 2

Derivando a equação acima pela Regra do produto, teremos:

g ' x = 2 x - 2 x - 3 2 + ( x - 1 ) ² ( 2 x - 6 )

Passo 3

Se tentarmos expandir, o polinômio ficará tão grande que será muito complicado de acharmos seus pontos críticos. Fatoremos a expressão:

g ' x = 2 x - 1 x - 3 2 + x - 1 2 2 ( x - 3 )

g ' x = 2 x - 1 x - 3 x - 3 + x - 1 ( x - 1 ) 2 ( x - 3 )

g ' x = 2 x - 1 x - 3 × x - 3 + x - 1

g ' x = 2 x - 1 x - 3 × x + x - 3 - 1

g ' x = 2 x - 1 x - 3 × 2 x - 4

g ' x = 2 x - 1 x - 3 × 2 ( x - 2 )

g ' x = 4 x - 1 x - 2 ( x - 3 )

Passo 4

Veja como os pontos críticos praticamente pulam como num passe de mágica.

Por ser um produto, caso qualquer um dos parênteses seja nulo, a derivada também será, o que caracteriza um ponto crítico.

g ' x = 4 x - 1 x - 2 x - 3

4 x - 1 x - 2 x - 3 = 0

x - 1 = 0

x 1 = 1

x - 2 = 0

x 2 = 2

x - 3 = 0

x 3 = 3

Resposta

x = 1 ;     x = 2 ;   x = 3

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