Enunciado

Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada

vec r (u , v) = 〈2 u + 3 v , 1 + 5 u - v , 2 + u + v〉

P (7,10,4) , Q ( 5,22,5 )

Passo 1

Olá, tudo bem? Para saber se um ponto pertence àquela superfície, é preciso igualar as componentes e os valores encontrados devem satisfazer a todas as equações. Dessa forma ó:

{[[x = 2 u + 3 v],[y = 1 + 5 u - v],[z = 2 + u + v]])

Vamos testar o ponto P ( 7,10,4 ) :

{[[7 = 2 u + 3 v],[10 = 1 + 5 u - v],[4 = 2 + u + v]])

Ficamos com um sistema de três equações e duas variáveis. Já aprendemos diversas formas de resolver um sistema, seja por adição, por substituição ou qualquer outro método. Aqui você pode resolver da forma que achar melhor. Eu vou escolher por adição.

Vou somar as duas últimas linhas, e assim eliminar a variável v :

14 = 3 + 6 u

u = (14 - 3)/(6) = (11)/(6)

Assim temos que u = 11 // 6 . Agora vou substituir esse valor na terceira equação e assim determinar o valor de v :

4 = 2 + u + v

4 = 2 + (11)/(6) + v

4 = (23)/(6) + v

v = 4 - (23)/(6) = (1)/(6)

Pronto, usamos as duas últimas equações para determinar os valores de u e v . Agora vamos fazer a prova real, pois esses valores devem satisfazer TODAS às três equações. Da primeira temos:

7 = 2 u + 3 v

7 = 2 . (11)/(6) + 3 . (1)/(6)

7 = (22)/(6) + (3)/(6)

7 = (25)/(6) E R R A D O ‼ !

Encontramos uma inverdade, logo esses valores não satisfazem as três equações ao mesmo tempo e o ponto P não pertence à superfície.

Passo 2

Agora vamos proceder da mesma forma e testar o ponto Q (5,22,5) .

Igualando as componentes da superfície com o ponto dado:

{[[x = 2 u + 3 v],[y = 1 + 5 u - v],[z = 2 + u + v]])

Vamos testar o ponto Q ( 5,22,5 ) :

{[[5 = 2 u + 3 v],[22 = 1 + 5 u - v],[5 = 2 + u + v]])

Vou proceder da mesma forma e somar as duas últimas linhas, e assim eliminar a variável u :

27 = 3 + 6 u

u = (27 - 3)/(6) = (24)/(6) = 4

Assim temos que u = 4 . Agora vou substituir esse valor na terceira equação e assim determinar o valor de v :

5 = 2 + u + v

5 = 2 + 4 + v

5 = 6 + v

v = 5 - 6 = - 1

Pronto, usamos as duas últimas equações para determinar os valores de u e v . Agora vamos fazer a prova real, pois esses valores devem satisfazer TODAS às três equações. Da primeira temos:

5 = 2 u + 3 v

5 = 2 . 4 + 3 . ( - 1 )

5 = 8 - 3

5 = 5 C O R R E T O ‼ !

Assim os valores de u e v satisfazem as três equações e o ponto Q pertence à superfície.

Vamos pra próxima?

Resposta

P n ã o p e r t e n c e

Q p e r t e n c e

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