Enunciado

Determine o(s) pontos(s) de inflexão do gráfico de F do Exercício.

Passo 1

Cara, ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda da sua função mudou de sinal. Então o que a gente precisa fazer é avaliar a derivada segunda da nossa função.

Ela está definida assim:

F x = ∫ 0 x f ( t ) d t

Sendo que temos o gráfico de f . Vamos começar!

Passo 2

Precisamos chegar na derivada segunda da nossa função, ou pelo menos em algum lugar que a gente consiga avaliar o sinal dela. Vamos derivar F ( x ) .

Temos do Teorema Fundamental do Cálculo que se:

F x = ∫ 0 x f ( t ) d t

F ' x = d F d x = f ( x )

F ' ' x = f ' ( x )

Aí repara que podemos ver o sinal de F ' ' ( x ) só olhando o crescimento/decrescimento de f pelo gráfico.

Vemos que x = 7 é o único ponto onde a função deixa de crescer e passa a dimininuir, ou seja, é um ponto onde f ' = F ' ' muda de sinal, sai no positivo e vai para o negativo, por isso vai ser o noss único ponto de inflexão.

Repara que antes e depois do intervalo ( 3,5 ) há mudança de sinal, mas não falamos de ponto de inflexão aí porque não estamos falando de um ponto. Belezinha?

Resposta

x = 7

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