Enunciado

Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais

a.

∫ 0 1 ∫ x 3 x f x , y d y d x

Passo 1

Oii, estamos agora embarcando no mundo das integrais. Como você muito bem sabe, uma interpretação geométrica de integrais é o cálculo de áreas. Assim os intervalos de integração nos dizem que região do Plano estamos. E olha que bacana. Não importa a ordem de integração o valor final SEMPRE tem que ser o mesmo. Assim podemos ser bacana em algumas ocasiões nós manipularmos quais variáveis vamos integrar primeiro, pense sempre em poupar esforço!

Passo 2

No nosso caso temos

∫ 0 1 ∫ x 3 x f x , y d y d x

Vamos começar pela intepretação mais fácil. X varia da curva x = 0 ate a curva x = 1 . Então sabemos que x esta entre a seguinte região

Agora temos que ver y, porque x varia da curva x 3 ate a curva x . Então podemos concluir que a região é

A região central, interseção das 4 curvas. Agora temos que inverter a região. Temos que ter ciência de que lemos a região da seguinte maneira. Y começa de baixo para cima e X da esquerda para a direita. Entao podemos fazer o seguinte

y ∈ 0,1

E agora temos que inverter as função de y(x), começando pelo limite inferior

y = x 3

x = y 1 3

E agora o limite superior

y = x

x = y 2

Com isso nossa integral fica

∫ 0 1 ∫ x 3 x f x , y d y d x =   ∫ 0 1 ∫ y 2 y 1 3 f x , y d x d y

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ 0 1 ∫ x 3 x f x , y d y d x =   ∫ 0 1 ∫ y 2 y 1 3 f x , y d x d y

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