Enunciado

8- Determine uma reta paralela à reta x + y = 1 e tangente à curva x 3 + x y + y 3 = 0   em um ponto ( x 0 , y 0 ) , com x 0 < 0 e y 0 < 0 .

Passo 1

Como a reta é paralela à x+y=1, temos que o coeficiente angular de ambas são iguais.

Com efeito, temos que a reta y=mx+n tem o valor de m sendo -1.

Passo 2

Temos, além disso, que a reta y=-x+n intercepta a curva em um único ponto.

Desse modo, substituímos na equação da curva o valor de y dado pela reta.

x 3 + x - x + n + ( - x + n ) 3 = 0

Desenvolvendo os binômios:

x 3 - x 2 + x n + n 3 - 3 n 2 x + 3 n x 2 - x 3 = 0

3 n - 1 x 2 + n - 3 n 2 x + n 3 = 0

Passo 3

Temos então que o discriminante da equação acima deve ser zero.

Assim,

( n - 3 n 2 ) 2 - 4 3 n - 1 n 3 = 0

Então,

n 2 1 - 3 n 2 - 4 n 3 3 n - 1 = 0

Dessa forma, temos que n=0 é uma raiz da equação, mas não satisfaz as condições da questão, pois teríamos y=-x, de onde segue que x(-x)=0, donde x=y=0

Portanto, continuemos encontrando raízes para a equação.

1 - 3 n 2 - 4 n 3 n - 1 = 0

Daí, temos que 1-3n=0 é uma solução para a equação e, portanto, n=1/3.

Porém, quando n=1/3, não temos nenhuma interseção entre a reta e a curva.

Logo, sabemos que 1 - 3 n ≠ 0 , de onde segue que, dividindo a equação por 1-3n:

1 - 3 n - 4 n - 1 = 0

1 - 3 n + 4 n = 0

n = - 1

Passo 4

No caso em que n=-1, temos y=-x-1.

Assim, substituindo na equação da curva, temos

x 3 + x - x - 1 + ( - x - 1 ) 3 = 0

x 3 - x 2 - x - x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 = 0

- 4 x 2 - 4 x - 1 = 0

2 x + 1 2 = 0

x = - 1 2

Substituindo na equação da reta, temos que y = - ( - 1 2 ) -1= - 1 2

Note que esse par satisfaz as condições do problema.

Resposta

y = - x - 1

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