Enunciado

  1. Se F x = 5 x 1 + x 2   , encontre F ' ( 2 ) e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à curva y = 5 x 1 + x 2 no ponto ( 2 ,   2 ) .
  2. Ilustre a parte (a) traçando a curva e a reta tangente na mesma tela.

Passo 1

E aí galera, tudo bom? Essa aqui é uma questão sobre derivada e reta tangente, um dos tópicos fundamentais de Cálculo e que serve pra muuuuitas outras disciplinas na engenharia! Está preparado para resolver essa questão? Bora lá!

A primeira coisa que temos que ter em mente é que a derivada de uma função F qualquer em um ponto a é dada da seguinte forma:

F ' a = lim h → 0 ⁡ F a + h - F a h  

Beleza? Essa é a definição de derivada em um ponto e, se esse limite não existir, não teremos a derivada em a .

A segunda coisa a termos em mente para a resolução dessa atividade é fórmula da equação da reta tangente:

y - y 1 = F ' a x - x 1

Em que ( x 1 , y 1 ) é o ponto da nossa reta tangente, e nesse caso é o ponto:

( 2,2 )

De primeira, parece meio complicado trabalhar com essas definições envolvendo limite, é normal, mas é só ir fazendo com calma, resolvendo uns exercícios que dá para ficar fera!

Passo 2

  1. Primeiro temos que montar nossa expressão para encontrar F ' ( 2 ) . Vai ficar assim:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ F 2 + h - F 2 h

Acontece que, no enunciado, já é dado o valor de F ( 2 ) para a gente! Presta atenção: sempre escrevemos o par ordenado como sendo ( x ,   F x ) e temos um par ordenado 2 ,   2 . Deu para sacar? Temos então que quando x = 2 , teremos F 2 = 2 . Bora colocar isso na nossa equação agora:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ F 2 + h - 2 h

Já tiramos todas as informações que podíamos do enunciado, agora temos que fazer as contas. Primeiro, temos que ver quem é F ( 2 + h ) . Se:

F x = 5 x 1 + x 2

Então:

F 2 + h = 5 ( 2 + h ) 1 + ( 2 + h ) 2

Fazendo a distributiva e o produto notável:

F 2 + h = 10 + 5 h 1 + 4 + 4 h + h 2  

Simplificando o denominador:

F 2 + h = 10 + 5 h h 2 + 4 h + 5

Achamos nosso F ( 2 + h ) ! Agora temos que substituir no limite, saca só como vai ficar:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ 10 + 5 h h 2 + 4 h + 5 - 2 h

Passo 3

Beleza até aqui? Agora temos que resolver o limite. Uma dica: Tente sempre escrever a sua expressão de uma forma mais amigável, fica mais fácil de visualizar muitas vezes! Vou escrever nosso limite assim:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ 10 + 5 h h 2 + 4 h + 5 - 2 1 h

Sacou? Dividir tudo por h é o mesmo que multiplicar por 1 h , aí fiz assim para tentar deixar mais organizado. Agora, vamos achar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre essa fração de dentro do parêntese e o - 2 , dá uma olhada:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ 10 + 5 h h 2 + 4 h + 5 - 2 h 2 + 4 h + 5 h 2 + 4 h + 5 1 h

Realizando a distributiva:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ 10 + 5 h h 2 + 4 h + 5 - 2 h 2 + 8 h + 10 h 2 + 4 h + 5 1 h

Vamos fazer a subtração entre as frações agora! Olha só:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ 10 + 5 h - ( 2 h 2 + 8 h + 10 ) h 2 + 4 h + 5 1 h

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ 10 + 5 h - 2 h 2 - 8 h - 10 h 2 + 4 h + 5 1 h

Simplificando os termos comuns:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 2 h 2 - 3 h h 2 + 4 h + 5 1 h

Passo 4

Agora o nosso limite está bem mais organizado! Acontece que, se fizermos a substituição h = 0 agora para tentar resolver esse limite, vamos cair em uma indeterminação 0 0 , então temos que dar um jeito de eliminar essa indeterminação. Se eu colocar h em evidência na parte de cima da fração, olha só o que vai acontecer:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 2 h - 3 h 2 + 4 h + 5 h h

Simplificando:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 2 h - 3 h 2 + 4 h + 5

Eu eliminei o h que estava em evidência com o que estava dividindo. Muitos casos de limite a gente consegue resolver fazendo esse tipo de jogada, então fica com ela na cabeça! Agora vou fazer h = 0 para tentar resolver nosso limite, dá uma olhada:

F ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 2 h - 3 h 2 + 4 h + 5 = - 2   .   0 - 3 0 2 + 4   .   0 + 5

F ' 2 = - 3 5

Encontramos nosso F ' ( 2 ) !

Passo 5

Para terminar o item (a), falta encontrarmos a reta tangente à curva y = 5 x 1 + x 2 no ponto ( 2 ,   2 ) . Podemos fazer isso utilizando a expressão da reta tangente a um ponto a , que é dessa forma aqui:

y - y 1 = F ' a ∙ ( x - a )

Nesse nosso caso, temos que a = x = 2 e que y 1 = 2 , beleza? Ah, e tem mais! Encontramos F ' a = F ' 2 = - 3 5 . Temos tudo que é necessário para escrever a equação da reta tangente! Fazendo as substituições, fica assim:

y - 2 = - 3 5 .   x - 2

y = - 3 x 5 + 6 5 + 2

y = - 3 x 5 + 16 5

Pronto! Essa é a nossa reta tangente.

Passo 6

b)

Está quase acabando essa questão! Temos só que desenhar o gráfico da nossa curva e o da reta tangente a ela. Aqui a gente vai utilizar o GeoGebra para fazer isso, pois o intuito é apenas conferir se estamos realmente certos. Vai ficar assim:

A curva em azul é a curva y = 5 x 1 + x 2 . Você pode tetnar desenhá-la atribuindo valores e marcando os pontos em um gráfico ou fazendo em um software de computador mesmo.

De posse da curva em azul, você deve desenhar a reta laranja y = - 3 x 5 + 16 5 .

Lembre-se: A reta tangente tem que tocar no ponto ( 2 ,   2 ) do gráfico em azul! Esse detalhe é muito importante, pois construímos nossa reta a partir desse ponto, beleza?

Uhul, essa questão já era! ;)

Resposta

  1. F ' 2 = - 3 5 e a reta tangente é y = - 3 x 5 + 16 5 .
  2. O gráfico mostrando a curva e a reta tangente a esta curva no ponto ( 2 ,   2 ) é:

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