Enunciado

5- Determine uma reta que seja paralela a x + y = 1 e que seja tangente à curva

x 2 + x y + y 2 = 3 .

Passo 1

Notemos, inicialmente, que para que uma reta seja paralela a outra é necessário que ambas tenham mesmo coeficiente angular e coeficiente linear diferentes.

Portanto, temos que y = - x + 1 tem coeficiente angular igual a -1, então a reta que procuramos precisa ter coeficiente angular igual a - 1 também.

Passo 2

Agora precisamos que essa reta que tenha coeficiente angular - 1 seja tangente à x 2 + x y + y 2 = 3 .

Pra isso vamos calcular a derivada de y em relação a x e procurar em que ponto essa derivada é igual a - 1 . Lembrando que valor da derivada de y x em um ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente àquela curva ;)

Mas pra fazer essa derivadinha, temos que fazer uma derivada implícita! Vai ficar assim

x 2 ' + x y ' + y 2 ' = 3 '

Lembrando que na derivada de x y usamos a regra do produto ( x y ' = x ' y + x y ' = y + x y ' ) e na derivada de y 2 usamos a regra da cadeia y 2 ' = 2 y y ' .

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0

Passo 3

Como queremos que o valor da derivada seja - 1 , basta substituir - 1 na equação que acabamos de achar

2 x + y + x - 1 + 2 y - 1 = 0

2 x + y - x - 2 y = 0

y = x

Calma que isso aqui não tem nada a ver com a reta que queremos hein!

Essa relação que acabamos de achar só nos diz que condições devem ser satisfeitas para que a derivada y ' na nossa curva seja - 1 ;)

Agora vamos substituir essa relação na nossa equação da curva

x 2 + x y + y 2 = 3 → x 2 + x x + x 2 = 3 → 3 x 2 = 3

x 2 = 1

x = ± 1

Opa! Temos duas soluções! Isso significa que temos dois pontos! Como já dizemos que y = x , então os pontos são

- 1 ,   - 1

1,1

Nesses dois pontos a reta tangente a nossa curva é paralela a x + y = 1 ! Show! Estamos quase lá!

Passo 4

Sabemos que temos duas retas! E pra cada reta temos um ponto ( - 1 , - 1 e 1,1 ) e já sabemos qual inclinação elas devem ter.

Para achar as retas, vamos usar que a inclinação de uma reta é dada por

m = y - y 0 x - x 0 → y = y 0 + m x - x 0

Onde m = - 1 é a inclinação da reta e x 0 ,   y 0 é um ponto dessa reta.

Assim, uma das retas é

y = - 1 - 1 x - - 1 → y = - x - 2

E a outra é

y = 1 - 1 x - 1 → y = - x + 2

Resposta

y = - x - 2

y = - x + 2

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