Enunciado

6- Determine uma reta que seja tangente à elipse x 2 + 2 y 2 = 9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada 9 4 .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom? Aqui vamos ter que encontrar uma reta tangente, então vamos ter que aplicar essa famosa fórmula

y - f x 0 = m x - x 0

Onde, m = f ' x 0

Como a reta que queremos encontrar intercepta o eixo das ordenadas no ponto ( 0 , 9 4 ) , temos que a equação da reta é da forma

y = m x + 9 4

Agora vamos juntar essas informações!

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção da reta com a elipse, substituiremos na equação da elipse o valor de y dado pela equação da reta.

x 2 + 2 m x + 9 4 2 = 9

Desenvolvendo, temos:

x 2 + 2 m 2 x 2 + 2 m x . 9 4 + 81 16 = 9

x 2 + 2 m 2 x 2 + 9 m x + 81 8 - 9 = 0

1 + 2 m 2 x 2 + 9 m x + 9 8 = 0

Passo 3

Como a reta é tangente à elipse, temos que o delta da equação quadrática deve ser zero, ∆ = 0 .

Daí, temos:

9 m 2 - 4 1 + 2 m 2 9 8 = 0

e, portanto,

81 m 2 - 9 2 - 9 m 2 = 0

Isolando m

72 m 2 = 9 2

m 2 = 9 72.2 = 1 16

Assim, temos:

m = ± 1 4

Resposta

4 y = x + 9

ou

4 y = - x + 9

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