Enunciado

A figura mostra o gráfico de uma função f . Suponha que o método de Newton seja usado para aproximar a raiz s da equação f x = 0 com aproximação inicial x 1 = 6 .

  1. Desenhe as linhas tangentes usadas para encontrar x 2   e   x 3 , e estime os valores numéricos.
  2. Seria x 1 = 8   uma melhor aproximação inicial? Explique.

Passo 1

Bom pessoal, o método de Newton é dado por:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Porém, neste exercício, iremos usar este método aplicado direto no gráfico. É bom que nos ajuda a entender o que este método representa.

(a) Pelo gráfico dado, devemos traçar uma tangente quando x 1 = 6 , isto é, no sexto quadrado. Onde a reta tocar no eixo x será nosso x 2 .

Pelo gráfico acima, podemos estimar que x 2 = 7,3 .

A partir de x 2 traçamos uma vertical para encontrar o ponto da curva que representa f ( x 2 ) . A partir deste ponto, traçamos uma nova tangente, assim como o feito no passo anterior.

Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente cruza o eixo x em x 3 ≈ 6,9 .

Passo 2

(b) Devemos fazer a mesma coisa feita na letra (a), mas iniciando em x 1 = 8 .

Pelo gráfico acima, podemos estimar que x 2 = 7,1 .

A partir de x 2 traçamos uma vertical para encontrar o ponto da curva que representa f ( x 2 ) . A partir deste ponto, traçamos uma nova tangente, assim como o feito no passo anterior.

Pelo gráfico, podemos estimar que a tangente cruza o eixo x em x 3 ≈ 6,8 .

Como está mais próxima da raiz s, então a aproximação é mais precisa.

Resposta

  1. x 3 ≈ 6,9 .
  2. x 3 ≈ 6,8 .

Como está mais próxima da raiz s, então a aproximação é mais precisa.

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