Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Passo 1

Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,

d i v   F = ∇ ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Vamos fazer os cálculos do rotacional então! Para isto, vamos calcular cada um dos termos separadamente, a começar pelo termo na direção do vetor i . Portanto,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i = - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 - 2 y z x 2 + y 2 + z 2 i

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j = - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 - 2 x z x 2 + y 2 + z 2 j

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k = - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 - 2 x y x 2 + y 2 + z 2 k

Logo, o rotacional é:

r o t   F = - 4 y z x 2 + y 2 + z 2 i + - 4 x z x 2 + y 2 + z 2 j + - 4 x y x 2 + y 2 + z 2 k

Resposta

r o t   F = - 4 y z x 2 + y 2 + z 2 i + - 4 x z x 2 + y 2 + z 2 j + - 4 x y x 2 + y 2 + z 2 k

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