Enunciado

  1. Determine uma função f tal que F = ∇ f e
  2. Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada.

F x , y , z = s e n   y i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( y   s e n   z ) k ^

C : r t = s e n   t   i ^ + t j ^ + 2 t k ^ ,         0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 1

Vamos separar nosso campo vetorial em três:

f x = s e n   y

f y = x cos ⁡ y + cos ⁡ z

f z = - y   s e n   z

A primeira coisa que vamos fazer é integrar f x em relação a x . Assim, temos

f x , y , z = ∫ ( s e n   y )   d x = x s e n   y + g ( y , z )

Passo 2

A próxima coisa é derivar a função f ( x , y , z ) em relação a y .

f y = x cos ⁡ y + g y y , z

Sabemos que f y = x cos ⁡ y + cos ⁡ z . Assim, comparando com o valor encontrada acima, temos:

x cos ⁡ y + cos ⁡ z = x cos ⁡ y + g y y , z

g y y , z = cos ⁡ z

Se integrarmos g y ( y , z ) em relação a y , temos:

g y , z = y cos ⁡ z + h z

Passo 3

Reescrevendo a equação para a fundão f , temos:

f x , y , z = x s e n   y + g ( y , z )

f x , y , z = x s e n   y + y cos ⁡ z + h ( z )

Vamos derivá-la em relação a z agora.

f z = - y   s e n   z + h ' z

Como temos uma expressão para f z , vamos comparar as duas!

- y   s e n   z + h ' z = - y   s e n   z

h ' z = 0

Integrando a função h ' ( z ) em relação a z , temos:

h z = C

Por fim, reescrevendo a função f :

f x , y , z = x s e n   y + y cos ⁡ z + C

Resposta

A função é igual a:

f x , y , z = x s e n   y + y cos ⁡ z + C

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.d) f → = y 2 - 3 - y x 2 + x y i → + 1 x + y + 2 x y + 2 y j →
Calcule o rotacional. F → x , y , z =x i → + y j → + x z k →
Calcule o rotacional. F → x , y , z =- y i → + x j → + z k →
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional. F → x , y , z = x 2 + y 2 i →