Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

a n = 3 + 5 n 2 n + n 2

Passo 1

Fala aí meus amores.

Temos que dizer se essa sequência converge ou diverge. Mas como fazemos isso?

É simples! Basta calcular o limite do termo geral a n pra n tendendo ao infinito.

lim n → ∞   ⁡ a n

Se o resultado for um número finito, a sequência converge pra esse valor. Se o resultado for infinito ou se o limite não existir, a sequência diverge.

Então vamos lá pra nossa sequencia:

lim n → ∞   ⁡ a n = lim n → ∞   ⁡ 3 + 5 n 2 n + n 2

Passo 2

Se a gente só substituir n por infinito, vamos achar uma indeterminação:

lim n → ∞   ⁡ 3 + 5 n 2 n + n 2 = ∞ ∞

Então presta atenção que agora vou te dar uma dica boa! Vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de n , ou seja n 2 , e você vai ver uma mágica acontecer:

lim n → ∞   ⁡ 3 n 2 + 5 n 2 n 2 n n 2 + n 2 n 2 = lim n → ∞   ⁡ 3 n 2 + 5 1 n + 1

E como n → ∞ , os termos que possuem n no denominador tendem para 0. Assim vários termos são anulados e nossa expressão fica bem mais simples, olha que maravilha!

lim n → ∞   ⁡ 3 n 2 + 5 1 n + 1 = lim n → ∞   ⁡ 0 + 5 0 + 1 = 5 1

Mas cuidado, isso só vale pro limite no infinito!

E achamos nosso resultado:

lim n → ∞   ⁡ a n = lim n → ∞   ⁡ 3 + 5 n 2 n + n 2 = 5

Como achamos um valor finito, então podemos dizer que a sequência converge e o limite é 5.

Resposta

5

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = s e n2 n 1 + n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 3 n + 2 5 n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. e n + e - n e 2 n - 1