Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = s e n   2 n 1 + n

Passo 1

E aê, galera! Tudo certo? Questão interessante de convergência de sequências.

Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.

Então, vamos nesse primeiro passo entender um pouco da nossa abordagem para resolver essa questão: a sequência s e n   2 n é limitada, pois seus valores variam entre -1 e 1. Quando temos uma sequência limitada, uma ótima estratégia de resolução é o uso do Teorema do Confronto, que vai possibilitar que a gente ache o limite e resolva nossa questão.

Vamos por partes então:

Passo 2

Relembrando do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):

O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.

Basicamente:

se f x ≤ g x ≤ h ( x ) e lim x → p ⁡ f x = lim x → p ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ g x = L

Então para encontrar nossas funções, escrevemos nossa função limitada:

- 1 ≤ s e n   2 n ≤ 1

Como o que temos é s e n   2 n 1 + n , vamos dividir tudo por 1 + n :

- 1 1 + n ≤ s e n   2 n 1 + n ≤ 1 1 + n

Agora que temos nossas duas funções. Pelo Teorema do Confronto:

l i m n → ∞ - 1 1 + n ≤ l i m n → ∞   s e n   2 n 1 + n ≤ l i m n → ∞   1 1 + n

Passo 3

Agora vamos calcular os limites de fato:

l i m n → ∞ - 1 1 + n = 0

E o mesmo vale para nosso outro limite:

l i m n → ∞   1 1 + n = 0

Já que n → ∞ cresce tanto que torna os valores da sequência muito pequenos. Então:

0 ≤ l i m n → ∞ s e n   2 n 1 + n ≤ 0

Logo,

l i m n → ∞ s e n   2 n 1 + n = 0

Então, a sequência converge para 0 , tá ok?

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.32. a n = e 2 n n + 2
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.40. a n = t g - 1 n n
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.51. a n = a r ct g ( ln ⁡ n )
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.31. a n = n 2 n 3 + 4 n
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.46. a n = 2 - n cos ⁡ n π