Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = n n

Passo 1

Galerinha, precisamos começar analisando o seguinte limite.

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Se nossa sequência se aproxima do valor L quando nossos termos crescem muito, ou seja, n → ∞ . Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.

Nesse caso o limite que precisaremos calcular será:

lim n → ∞ ⁡ n n

Passo 2

Vamos chamar de x o limite:

x = lim n → ∞ ⁡ n 1 n

Vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da expressão:

ln ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 1 n

Usando a propriedade ln ⁡ a b = b ln ⁡ a :

ln ⁡ x = l i m n → ∞ 1 n ln ⁡ n

Reescrevendo a expressão:

ln ⁡ x = l i m n → ∞ ln ⁡ n n

Passo 3

Vamos aplicar o limite!

ln ⁡ x = ∞ ∞

Nos deparamos aqui com uma indeterminação! Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Lembrando que essa regra só se aplica aos tipo de indeterminação: ∞ ∞ e 0 0 .

Assim, temos:

l i m n → ∞ ln ⁡ n ' n ' = l i m n → ∞ 1 n 1

Simplificando, ficamos com:

ln ⁡ x = l i m n → ∞ 1 n

Aqui vemos que quando n → ∞ , nosso denominador cresce tanto que torna 1 n muito pequeno, se aproximando cada vez mais de 0. Logo, temos que:

ln ⁡ x = 0

Vamos elevar os dois lados com a base e porque assim a gente elimina a função l n e ficamos só com nossa incógnita x :

e ln ⁡ x = e 0

Como todo número elevado a 0 é 1, por fim, chegamos em:

x = 1

Logo, a série converge para 1 !

Resposta

A série converge para 1!

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