Enunciado

Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a margem esquerda na página 704   com sugestões para gráficos de sequências).

43-

a r c t g 2 n 2 n + 1

Passo 1

O gráfico dessa sequência nos mostra que:

Onde ela parece realmente convergir para um valor igual a 0.783 , porém para provar esse valor vamos analisar o que está dentro da função arcotangente.

b n = 2 n 2 n + 1

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por 2 n nós teremos:

b n = 1 1 + 1 2 n

E se aplicarmos o limite tendendo a infinito dessa sequência nós teremos:

lim n → ∞ ⁡ b n = 1

Pois 1 2 ∞ = 0

Passo 3

Então se a sequência de dentro converge, logo a função de fora também convergirá, e se fizermos o arco tangente (em radiano) desse valor nós encontraremos o valor de convergência da sequência toda. O que nos dá:

a r c t g 1 = 0.785398 = π 4

Onde a tangente de π 4 nos dará um valor de 1 .

Resposta

A sequência converge para π / 4

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = n 3 n 3 + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 1 n - 1n n 2 + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. ln ⁡ n ln ⁡ 2 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = e 1 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. n 2 e - n