Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = 1 + 2 n n

Passo 1

Fala aí, gente bonita!! O que essa questão quer? Precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo? Como podemos fazer isso?

Para nos ajudar a determinar se a sequência diverge ou converge, precisamos lembrar que uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.

Show de bola?!

Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Passo 2

Vamos chamar de x o limite da nossa sequência

x = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Quando lidamos com expressões exponenciais, como no caso da sequência, pode ser útil aplicar o logaritmo natural para lidar com a parte exponencial da equação. Ao fazer isso, transformamos a expressão exponencial em uma forma mais simples e tratável, permitindo a gente aplicar técnicas como a regra de L'Hôpital para avaliar o limite da sequência. Sacou?

Então vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da expressão.

ln ⁡ x = ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n n

Como o logaritmo é uma função contínua, então podemos aplicar a propriedade do logaritmo de um limite:

ln ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 2 n n

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que nos permite extrair o expoente como um coeficiente do logaritmo:

ln ⁡ a b = b ∙ l n a

Assim,

ln ⁡ x = l i m n → ∞ n ln ⁡ 1 + 2 n

Aqui, vamos dividir ambos os lados da equação por 1 n . Isso é uma manipulação válida, pois não altera o valor da expressão. Essa transformação é útil porque nos permite aplicar a forma indeterminada 0 0 ​, que é uma condição necessária para usar a regra de L'Hôpital para avaliar o limite.

ln ⁡ x = l i m n → ∞ ln ⁡ 1 + 2 n 1 / n

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui, beleza? Seja t = 1 n . Note que t → 0 conforme n → ∞ . Assim,

ln ⁡ x = l i m t → 0 ln ⁡ 1 + 2 t t

Passo 3

Vamos aplicar o limite!

ln ⁡ x = 0 0

Nos deparamos aqui com uma indeterminação! Portanto, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Assim, temos:

ln ⁡ x = l i m t → 0 2 1 + 2 t 1

ln ⁡ x = l i m t → 0 2 1 + 2 t

ln ⁡ x = 2

Vamos elevar os dois lados com a base e :

e ln ⁡ x = e 2

x = e 2

Logo, a série converge para e 2 !

Resposta

A série converge para e 2 !

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