Enunciado

Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada?

a n = n 3 - 3 n + 3

Passo 1

Galerinha, uma função f x é dita monotônica se e somente se f ' ( x ) manter o mesmo sinal para todo x . Além disso, a função pode ser crescente se f x < f ( x + 1 ) para todo x e pode ser decrescente se f x > f ( x + 1 ) para todo x . Vamos ver o nosso caso aqui.

Para n = 1 , temos:

f 1 = 1 3 - 3 + 3 = 1

Para n = 2 , temos:

f 2 = 2 3 - 6 + 3 = 5

Para n = 3 , temos:

f 3 = 3 3 - 9 + 3 = 21

Observando os valores acima, vemos que estão crescendo conforme aumenta o valor de n , logo f é crescente em ( 1 , ∞ ) . Logo, a sequência a n é crescente.

Passo 2

Vamos verificar agora se essa função é limitada de alguma maneira. Para isso, precisamos calcular o valor do limite da sequência!

L = lim n → ∞ ⁡ n 3 - 3 n + 3

Aplicando o limite, temos:

L = ∞

H = lim n → - ∞ ⁡ n 3 - 3 n + 3 = - ∞

Portanto, a sequência não é limitada!

Resposta

A sequência não é limitada e crescente.

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