Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = cos 2 ⁡ n 2 n

Passo 1

Galerinha, belezura? Assim como nas questões anteriores, nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge e, se convergir, encontrar o limite, certo?

Então vamosssss lá! Para determinarmos se a sequência

a n = cos 2 ⁡ n 2 n

converge ou diverge, podemos calcular o limite da sequência quando n tende ao infinito.

Daí você pode estar se perguntando: Por que isso??

Vamos relembrar que uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ cos 2 ⁡ n 2 n

Passo 2

Vamos avaliar primeiro essa série. Sabemos que a função cosseno varia entre - 1 e 1 . No entanto, como temos um cosseno ao quadrado, ele passa a variar entre 0 e 1 . Assim, temos:

0 ≤ cos 2 ⁡ n ≤ 1

Vamos dividir tudo por 2 n .

0 ≤ cos 2 ⁡ n 2 n ≤ 1 2 n

Vamos avaliar os limites desse intervalo. Primeiro temos que:

L 1 = lim n → ∞ ⁡ 0 = 0

Agora, na outra ponta, temos:

L 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n

Aplicando o limite temos:

L 2 = 1 2 ∞ = 0

Logo, podemos escrever que:

lim n → ∞ ⁡ 0 ≤ l i m n → ∞ ( cos 2 ⁡ n ) 2 n ≤   l i m n → ∞ 1 2 n

0 ≤ l i m n → ∞ ( cos 2 ⁡ n ) 2 n ≤ 0

Aqui vamos precisar o Teorema do Confronto! Ele afirma que se uma sequência está sempre entre duas outras sequências e essas duas sequências têm o mesmo limite (que é zero, no nosso caso), então a sequência em questão também converge para o mesmo limite, que é zero.

Assim, pelo teorema do Confronto, o valor do limite da sequência dada converge para zero!

Resposta

A série converge para zero!

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