Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = a r c t a n ⁡ ( ln ⁡ n )

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa sequência aqui

a n = a r c t a n ⁡ ( ln ⁡ n )

E precisamos decidir se ela diverge ou converge (e se converge, para onde). E agora?

Nossa função é a função arcotangente do logaritmo natural. Lembrando que o arcotagente é o inverso da tangente.

Então, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge.

Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

lim n → ∞ ⁡ a r c t a n ⁡ ( ln ⁡ n )

Passo 2

Vamos chamar de L o limite e resolvê-lo!

L = lim n → ∞ ⁡ a r c t a n ⁡ ( ln ⁡ n )

Aplicando o limite, temos:

L = a r c t a n ⁡ ( ln ⁡ ∞ )

E sabemos que a função logaritmo vai a infinito, embora de forma muito lenta, mas vai pra infinito! Então temos na verdade

L = a r c t a n ⁡ ( ∞ )

Tranquilo?

Passo 3

Precisamos lembrar agora um pouquinho de trigonometria. Vamos olhar para o círculo trigonométrico, olhando especificamente para a função tangente (em verde):

Podemos ver que o valor da tangente aumenta conforme o valor do ângulo x aumenta. Quando x = π / 2 (seria uma reta verde vertical), o valor da tangente vai para o infinito. Como a função arco tangente é a inversa, o valor de L será igual a:

L = π 2

Assim, a sequência converge para π 2 !

Resposta

A série converge para π 2 !

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