Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = - 3 n n !

Passo 1

Fala, pessoal! Beleza? Vamos ver como resolver essa questãozinha:

Lembrando aqui que nossa sequência a n terá limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge.

Vamos aplicar esse conceito à nossa questão e ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

Vamos avaliar o seguinte limite:

l i m n → ∞ - 3 n n !

Faremos algmas simplificações nesse limite para facilitar nosso cálculo.

Show? Então bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar esses termos para que fique mais claro o comportamento da nossa sequência. A sequência a n pode ser reescrita da seguinte forma:

a n = - 1 n 3 n n !

A vantagem desse novo arranjo de termos é que fica mais claro o comportamento oscilatório da nossa sequência, cujos valores se tornam positivos para valores pares de n e negativos para valores ímpares.

Vamos então calcular o módulo do limite, para considerar somente valores positivos.

Precisamos fazer mais algumas manipulações:

Passo 3

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 3 n n ! = l i m n → ∞ 3 n n !

Uma forma de análise de sequências com termos fatoriais é “abrirmos” esses termos para tentar colocar termos em evidência:

l i m n → ∞ 3 × 3 × 3 × 3 n - 3 1 × 2 × 3 × n - 3 ! = l i m n → ∞ 3 2 3 × 3 × … × 3 4 × 5 … × n

l i m n → ∞ 3 n n ! = l i m n → ∞ 3 × 3 × 3 × 3 n - 3 1 × 2 × 3 × n - 3 !

Como o denominador é maior do que o numerador, acontece que essa fração converge para zero. Isso pode ser visto através do último termo da fração 3 n   , que converge para zero quando n → ∞ , fazendo com que toda a fração seja igual a zero. Então, isso nos dá:

l i m n → ∞ 3 2 ⋅ 0 = 0 = l i m n → ∞ - 1 n 3 n n ! = l i m n → ∞ a n

Sabe-se que se lim n → ∞ ⁡ | a n | = 0 , então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Ou seja:

l i m n → ∞ - 1 n 3 n n ! = l i m n → ∞ - 1 n 3 n n ! = 0

Como l i m n → ∞ a n = 0 , então a sequência é convergente e converge para zero!

Resposta

A série converge para zero!

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.3. a n = 2 n 2 n + 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 + 2 n n
Uma terna de inteiros positivos a,b e c é chamada terna pitagórica se a 2 + b 2 = c 2 . Seja a um inteiro positivo impar e sejam b = a 2 2 e c = a 2 2 Respectivamente, o piso inteiro e o teto inteiro
a) Suponha que f ( x ) seja derivável para todo x em [ 0,1 ] e que f 0 = 0 . Defina a sequência { a n } pela regra a n = n f 1 n . mostre que lim n → ∞ ⁡ a n = f ' 0 . Utilize o resultado do item (a)
Uma sequência de números racionais é descritiva a seguir : 1 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , … … … a b , a + 2 b a + b , … Aqui os numeradores formam uma sequência, os denominadores formam uma segunda sequênc