Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = n + 1 3 n - 1

Passo 1

Galera, pra definir se essa sequência converge ou não, precisamos calcular o limite de a n no infinito:

lim n → ∞ ⁡ a n

Se acharmos um valor finito, a sequência converge pra esse valor.

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n - 1

Passo 2

Num primeiro momento, achamos uma indeterminação:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n - 1 = ∞ ∞

É sempre uma boa abordagem, quando se tem uma fração desse tipo, dividir o numerador e o denominador por uma potência de n , geralmente a maior potência. E é isso que vamos fazer, para depois aplicarmos o limite:

n + 1 n 3 n - 1 n = 1 + 1 n 3 - 1 n

Agora vamos la! Você vai ver porque fizemos essa divisão. Os temos com n no denominador vão ser zero no infinito.

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 3 - 1 n = 1 3

Logo a sequência converge em infinito para o número 1 / 3 .

Resposta

Sequência converge para 1 3 .

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Liste os primeiros nove termos da sequência cos ⁡ n π 3 Essa sequência parece ter um limite? Em caso afirmativo, encontre-o. Em caso negativo, explique por quê.
(a) O que é uma sequência?(b) O que significa dizer que lim n → ∞ ⁡ a n = 8 ?(c) O que significa dizer que lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ ?
Prove que se { a n } é uma sequência convergente, então para cada número positivo ϵ corresponde um inteiro N, tal que, para todo m Nen N⟹|a m-a n|ϵ .
Para uma sequência { a n } os termos de índice par são denotados por a 2 k e os termos de índice ímpar por a 2 k + 1 . Prove que se a 2 k → L e a 2 k + 1 → L , então a n → L .
Quais teoremas estão disponíveis para calcular limites de sequência? Dê exemplos.