Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !

Passo 1

Eae galera! Vamos relembrar alguns conceitos importantes.

Eu preciso de sua total atenção agora.

Uma série convergente é uma série em que seus termos “caminham” para uma direção específica. Ou seja, para algum valor fixo.

Dito isso, temos que entender que uma série absolutamente convergente é uma série em que todos os seus termos foram colocados em módulo (ou seja, estamos preocupados apenas com os valores absolutos de seus termos) e mesmo assim essa série aponta para um valor fixo.

Aqui vale a pena citar um teorema importante.

“Toda série absolutamente convergente é convergente”.

Cuidado!!! Pois existem série que são convergentes, mas que não são absolutamente convergentes. Essas séries são chamadas de condicionalmente convergentes.

Faltou explicarmos as séries divergentes.

As séries divergentes, meu caro amigo, nada mais são que, série que não apontam para valor nenhum. Não é possível definir a direção que os termos estão “caminhando”.

Agora, para definir qual a situação da série do exercício podemos utilizar o teste da razão.

Porque o teste da razão?

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas:

E o que diz o teste da razão sobre a convergência das séries?

O teste da razão diz o seguinte:

  1. Uma série é absolutamente convergente, (toda série absolutamente convergente é convergente) se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1  
  2. Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série é divergente.

Você deve estar se perguntando: “E se o limite for exatamente igual a 1 ?” Bom... nesse caso meu amigo, não podemos dizer nada sobre a convergência da série, e somos obrigados a escolher outro método.

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = n 100 100 n n !

E para sabermos a n + 1 basta somarmos   1 a todos os " n " de a n :

a n + 1 = ( n + 1 ) 100 100 n + 1 ( n + 1 ) !

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 100 n + 1 ( n + 1 ) ! n 100 100 n n !

Note que podemos organizar essa expressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 100 n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! n 100 100 n

Vamos nos recordar da definição de fatorial que:

n + 1 ! = n + 1 * n !

Então:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 100 100 n + 1 n + 1 n ! ⋅ n ! n 100 100 n = l i m n → ∞ n + 1 100 * 100 n * 100 1 n + 1 * n 100 * 100 n

Rearranjando temos:

l i m n → ∞ n + 1 100 * 100 n + 1 * n 100 =   l i m n → ∞ 100 n + 1 n + 1 n 100

lim n → ∞ ⁡ 100 n + 1 1 + 1 n 100 =   100 ∞ + 1 1 + 1 ∞ 100

0 1 + 0 100

= 0 ⋅ 1 = 0

Passo 3

Como:

0 < 1

Então, a série ∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !

é absolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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