Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

Passo 1

Note que temos uma série alternada.

Olhando para n n 2 + 4 , fazemos que:

b n = n n 2 + 4

Percebemos que n n 2 + 4 > 0 para n ≥ 1 .

E que { b n } é decrescente para n ≥ 1 .

Agora, basta calcular o seu limite:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 4 = lim n → ∞ ⁡ n n 2 ( 1 + 4 n 2 ) = 0

Então,

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

Converge pelo teste das séries alternadas.

Passo 2

Agora, para determinar se essa série converge absolutamente, vamos escolher um a n para que possamos calcular o teste da comparação no limite.

Seja, nossa escolha, a sério harmônica:

a n = 1 n

Vamos calcular o teste da comparação no limite:

lim n → ∞ ⁡ b n a n

Assim,

lim n → ∞ ⁡ b n a n = lim n → ∞ ⁡ n ( n 2 + 4 ) 1 n  

Ou, organizando um pouquinho para facilitar as continhas:

lim n → ∞ ⁡ b n a n = l i m n → ∞ n n 2 + 4 ⋅ n = l i m n → ∞ n 2 n 2 + 4 = l i m n → ∞ 1 1 + 4 n 2 = 1

Como,

1 > 0

Então,

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4

diverge pelo limite Teste de comparação no limite com a série harmônica. Assim, a série é consicionalmente convergente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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