Enunciado

Suponhamos que a série ∑ a n seja condicionalmente convergente.

(a) Demonstre que a série ∑ n 2 a n é convergente.

(b) A convergência condicional de não é suficiente para determinar se ∑ n   a n   é convergente. Mostre isso dando um exemplo de uma série condicionalmente convergente tal que ∑ n   a n

converge e um exemplo em que ∑ n   a n diverge.

Passo 1

Supondo que a série ∑ a n seja condicionalmente convergente.

  1. ∑ n 2 a n é divergente: suponha ∑ n 2 a n converge. Então lim n → ∞ ⁡ n 2 a n = 0 pelo seguinte Teorema:
  2. Se a série ∑ n = 1 ∞ a n for convergente, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0

    então existe um inteiro N > 0 de tal modo que n > N .

    Isso implica que:

    n 2 a n < 1

    Para n > N , temos que a n < 1 n 2 então, ∑ n > N | a n | converge pela comparação com a série convergente p-série ∑ n > N 1 n 2 .

    Em outras palavras, ∑ a n converge absolutamente, contradizendo a suposição de que ∑ a n é condicionalmente convergente. Essa contradição mostra que ∑ a n   diverge.

    Observe que o mesmo argumento mostra que ∑ n p a n diverge para p > 1 .

    Passo 2

  3. Um exemplo de série condicionalmente convergente é:

∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Ele converge pelo Teste de Série Alternada, mas não converge absolutamente.

Pelo Teste Integral, definindo a função como f x = 1 x ln ⁡ x   é continua, positiva e decrescente em [ 2 , ∞ ) e

∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x ln ⁡ x = l i m b → ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 b = ∞    

Assim, definindo

a n = - 1 n n ln ⁡ n

Para n ≥ 2 , nós temos que

∑ n = 2 ∞ n a n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Converge pelo teste das séries alternadas.

Passo 2

É fácil encontrar séries convergentes condicionalmente ∑ a n tal que ∑ n a n diverge. Dois exemplos são:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

E

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

ambos convergem pelo Teste de Série Alternada e não convergem absolutamente porque ∑ | a n | uma p-série com p ≤ 1 . Nesses casos, ∑ n a n diverge pelo teste da divergia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 3 ! + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 5 ! - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 7 ! + … + - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 n - 1 2 n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ 2 n 2 n !
Seja {bn} uma sequência de números positivos que converge para . Determine se a série dada é absolutamente convergente. ∑ n = 1 ∞ b n n cos ⁡ n π n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n 2