Enunciado

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4

Passo 1

Vamos usar o teste da razão: Colocando a n = - 1 n + 1   n 1 4

Escrevendo, a n + 1 a n = - 1 n + 2 n + 1 1 4 . n 1 4 - 1 n + 1   = n n + 1 1 4

Teremos então l i m a n + 1 a n = 1 , já que a fracao dentro dos parênteses tem limite 1 .

Entao, temos que o teste e inconclusivo. Precisamos estudar a serie por outros métodos.

Passo 2

Estudando a serie absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4 =     ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 4

Usando o teste de comparação, onde 1 n < 1 n 1 4 , vemos que a serie diverge, pois a serie harmônica diverge. Logo, ela não converge absolutamente.

Passo 3

Considerando b n = 1 n 1 4 . Temos que b n e decrescente, já que a função no denominador e crescente, e lim ⁡ b n = 0   . Portanto, pelo teste da serie alternada, A serie original converge.

Pelo fato da serie convergir, mas não convergir absolutamente, ela e condicionalmente convergente.

Resposta

A serie e condicionalmente convergente.

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