Calcule a integral iterada.

∫ 0 2 ∫ 0 π r   s e n 2 θ d θ   d r

Passo 1

Galera, nesse caso, como o integrando é o produto de uma função só de θ com uma função só de r , podemos transformar a integral dupla num produto de integrais simples:

∫ 0 2 ∫ 0 π r   s e n 2 θ d θ   d r = ∫ 0 π s e n 2 θ   d θ ∫ 0 2 r   d r

Passo 2

Agora, basta resolver cada integral simples, né pessoal?

Lembre-se de que:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

∫ 0 π s e n 2 θ   d θ ∫ 0 2 r   d r = 1 2 θ - s e n   2 θ 2 0 π r 2 2 0 2 = 1 2 π - s e n   2 π 2 - 0 + s e n   0 2 1 2 2 2 - 0 2 = 1 4 .   π   .   4 = π

Resposta

π

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