Enunciado

44. Ache os valores de máximo e mínimo da função f sujeita às restrições dadas. Utilize um sistema de computação algébrica para resolver o sistema de equações provenientes do uso de multiplicadores de Lagrange. (Se seu SCA achar somente uma solução, você pode precisar do uso de comandos adicionais.)

f x , y , z = y e x - z ; 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36 ; x y + y z = 1

Passo 1

Como ele nos disse para usar os multiplicadores de Lagrange e temos duas restrições vamos fazer o seguinte:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

g x , y , z = 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 e h x , y , z = x y + y z

Passo 2

Agora vamos achar os vetores gradientes:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h     ( i )

Logo,

< f x , f y , f z >   = λ < g x , g y , g z > + µ < h x , h y , h z >

A função f ( x , y , z ) é a seguinte:

f x , y , z = y e x - z

Então o vetor gradiente fica:

∇ f =   < y e x - z , e x - z , - y e x - z >

Agora vamos ver como fica o ∇ g :

g x , y , z = 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2

Assim, ∇ g =   < 18 x , 8 y , 72 z >

Por fim, vamos achar ∇ h : h x , y , z = x y + y z

logo, ∇ h =   < y , x + z ,   y >  

Substituindo na equação ( i ) :

< y e x - z , e x - z , - y e x - z >   = λ < 18 x , 8 y , 72 z > + µ < y , x + z ,   y >  

Passo 3

Montando o sistema:

y e x - z = 18 λ x + μ y e x - z = 8 λ y + ( x + z ) μ - y e x - z = 72 λ z + μ y 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36   x y + y z = 1

Agora não tem muito jeito, vamos ter que usar um sistema de computação algébrica. Assim, encontramos que os pontos críticos e seus respectivos f ( x , y , z ) que dão o seguinte:

- 5 , 35065 ; - 0 , 0687504 ; 0 , 408449 ; 9 , 7938

Logo, o ponto de mínimo será:

- 5 , 35065

E o ponto de máximo :

9 , 7938

Resposta

Ponto de mínimo:

- 5 , 35065

Ponto de máximo:

9 , 7938

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