Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.4 - Ex. 7

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desse livro

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 9 n 3 + 10 n

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: ∑ a n e ∑ b n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a n ≥ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n diverge, então ∑ a n também diverge.
  • Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a n , podemos dizer que

a n = 9 n 3 + 10 n

E isso vale para n ≥ 1 .

Para compararmos, vamos usar

b n = 9 n 10 n

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, pois ela é uma série geométrica com r < 1 , então ela converge.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b n = 9 n 10 n é que

a n < b n ,     ∀ n ≥ 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

9 n 3 + 10 n < 9 n 10 n

Estamos comparando duas frações com um mesmo numerador, então só precisamos comparar o denominadores e nós sabemos que 3 + 10 n > 10 n sempre, afinal se pegarmos um numero qualquer e somarmos 3, vai ser sempre maior que o próprio número, e como a fração com maior denominador é menor podemos dizer que   a n < b n .

Então como a n < b n ,     ∀ n ≥ 1 e nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ b n converge, pelo teste da comparação

∑ n = 1 ∞ 9 n 3 + 10 n

É convergente.

Resposta

Converge.

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