Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela diverge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série diverge, precisamos de uma série divergente que seus termos sejam menores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (e^(1 // n))/(n)

E isso vale para n >= 1 .

Para compararmos, vamos usar a série harmonica

b_n = (1)/(n)

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque ela diverge, e queremos provar que nossa série diverge.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b_n = (1)/(n) é que

a_n > b_n , AA n >= 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

(e^(1 // n))/(n) > (1)/(n)

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador, se pensarmos no e^(1 // n) , quando n = 1 o numerador da esquerda vale e e então vai diminuído até chegar no limite quando n -> oo valendo 1 .

Então como a_n > b_n , AA n >= 1 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n diverge, pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n)

É divergente.

Resposta

Diverge.

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