Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: ∑ a n e ∑ b n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a n ≥ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n diverge, então ∑ a n também diverge.
  • Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela diverge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série diverge, precisamos de uma série divergente que seus termos sejam menores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a n , podemos dizer que

a n = e 1 / n n

E isso vale para n ≥ 1 .

Para compararmos, vamos usar a série harmonica

b n = 1 n

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque ela diverge, e queremos provar que nossa série diverge.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b n = 1 n é que

a n > b n ,     ∀ n ≥ 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

e 1 / n n > 1 n

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador, se pensarmos no e 1 / n , quando n = 1 o numerador da esquerda vale e e então vai diminuído até chegar no limite quando n → ∞ valendo 1 .

Então como a n > b n ,     ∀ n ≥ 1 e nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ b n diverge, pelo teste da comparação

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n

É divergente.

Resposta

Diverge.

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