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Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n

Passo 1

Nessa questão, nós podemos fazer uso do Teste da Integral. Vocês sabem o que é? Ele é bem prático e simples! Vamos supor que a nossa função f é contínua, positiva, decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) e que a n = f ( n ) . Então, a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se e somente se a integral imprópria ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente. Em outras palavras, podemos dizer:

  1. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é convergente;
  2. Se ∫ 1 ∞ f ( x ) d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Agora que relembramos um pouquinho a teoria, que tal verificarmos se essa série é convergente ou divergente? Primeiro de tudo, vamos olhar para a função:

f x = 3 x - 4 x 2 - 2 x

Essa função é contínua, positiva e decrescente no intervalo [ 1 , ∞ ) , não é? Logo, podemos usa o teste da Integral para definir a convergência! Vamos escrever a integral imprópria:

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x

Passo 2

A integral que temos para resolver é diferente das outras integrais definidas que resolvemos usando o teorema fundamental do cálculo. Ela tem um infinito em um dos limites de integração! Como que lidamos com isso??? Sempre que tivermos uma descontinuidade nos limites de integração, nós podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ a ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ a t f ( x ) d x

Sabendo disso, vamos reescrever a integral do nosso problema!

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 3 x - 4 x 2 - 2 x d x

Passo 3

Resolvendo a integral temos:

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 3 x - 4 x 2 - 2 x d x

Antes de resolvermos a integral, vamos abrir a fração em frações parciais para facilitar nossa conta!

3 x - 4 x ( x - 2 ) = A x + B x - 2

3 x - 4 = A x - 2 + B x

3 x - 4 = A x + B x - 2 A = x A + B - 2 A

Pela igualdade, temos que A = 2 e A + B = 3 → B = 3 - A = 1 . Assim, a fração principal pode ser escrita da seguinte forma:

3 x - 4 x 2 - 2 x = 2 x + 1 x - 2

Voltando para a integral, temos:

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 2 x + 1 x - 2 d x

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ [ 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x - 2 ] 3 t

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x = lim t → ∞ ⁡ [ 2 ln ⁡ t + ln ⁡ t - 2 - 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 ]  

∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x = ∞

Como a integral é divergente, então, pelo Teste da Integral, a série ∑ n = 1 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →