Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2)

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a_n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a_n = (e^(1 // n))/(n^2) harr f (x) = (e^(1 // x))/(x^2)

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , oo ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a_n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

underset(n -> oo)(lim) a_n != 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

int_1^(oo) f ( x ) d x = int_1^(oo) (e^(1 // x))/(x^2) d x = underset(t -> oo)(lim) int_1^t (e^(1 // x))/(x^2) d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = (1)/(x) :. d u = - (d x)/(x^2) :

int e^(overset(u)(obrace 1 // x)) * underset(- d u)(ubrace (d x)/(x^2)) = - int e^u d u = - e^u = - e^(1 // x)

Retornando à nossa integral imprória, temos:

underset(t -> oo)(lim) int_1^t (e^(1 // x))/(x^2) d x = underset(t -> oo)(lim) [- e^(1 // x)]_1^t = underset(t -> oo)(lim) (- e^(1 // t) + e) = e - 1

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2) é convergente

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Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4
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