Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 5 + …

Passo 1

Fala, meus queridos! Tudo na paz?

Aqui nessa seção nós estamos analisando a convergência da série pelo Teste da Integral, que basicamente diz que:

O Teste da Integral Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [ 1 , ∞ )

e seja a n = f n . Então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:

(i) Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente.

(ii) Se ∫ 1 ∞ f x d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é divergente.

Acontece que aqui nós veremos que a nossa série é do tipo p e a análise desse tipo de série para o teste da integral é direta, basta analisar o valor de p , sem necessidade de calcular o valor da integral.

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Fica bem mais fácil, né? Vamos por partes.

Passo 2

Show de bola, galera...Estamos diante de uma p-série, certo? Eita! Como enxergar uma p-série ali no enunciado?

Vamos olhar atentamente nossa série e perceber alguns padrões:

1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 5 + …

Perceba que para o primeiro termos temos n = 1 , no segundo n = 2 e assim por diante. Nota que nosso numerador é sempre 1 e o denominador é o próprio n multiplicado da sua própria raiz quadrada. Daí:

1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 5 + … = ∑ n = 1 ∞ 1 n n

Mas ainda não está com a carinha de série-p que precisamos: ∑ n = 1 ∞ 1 n p .

Então vamos utilizar algumas propriedades da potenciação: a m n = a m n

E nossa soma pode ser escrita da seguinte forma:

∑ n = 1 ∞ 1 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n 1 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2

Passo 3

Agora fica bem mais fácil entender que p = 3 2 .

Para a série-p, temos:

  • É convergente se p > 1
  • É divergente se p ≤ 1

Então, como a nossa p-série tem um valor de p = 3 / 2 > 1 , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!

Resposta

1 + 1 2 2 + 1 3 3 + 1 4 4 + 1 5 5 + …   é  convergente

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