Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 0 ∞ π n 3 n + 1

Passo 1

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar transformá-la em uma série geométrica. Para isso basta substituir 3 n + 1 = 3 ⋅ 3 n

∑ n = 0 ∞ π n 3 ⋅ 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 3 π 3 n

Essa série se trata de uma série geométrica que é da forma

∑ n = 0 ∞ a r n

Portanto temos uma série geométrica com a = 1 3 e r = π 3 .

Passo 2

Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o r .

Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = π 3 e como π é maior que 3 , quando dividimos π 3 > 1 , portanto essa série diverge.

Resposta

Diverge.

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