Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ 10 n - 9 n - 1

Passo 1

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar transformá-la em uma série geométrica. Para isso basta substituir 10 n = 10 ⋅ 10 n - 1

∑ n = 1 ∞ 10 ⋅ 10 n - 1 - 9 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 10 - 10 9 n - 1

Essa série se trata de uma série geométrica que é da forma

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Passo 2

Portanto temos uma série geométrica com a = 10 e r = - 10 9 .

Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o r . Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = - 10 9 e sabemos que - 10 9 = 10 9 > 1 então a série diverge.

Resposta

Diverge.

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